1.2 越变越小的饼干：等比数列

竖着剪下横着剪下剩下的部分整块面积 = 1

先是一整块。第一刀剪掉 1/2，第二刀剪掉 1/4，第三刀剪掉 1/8……

无限多个数，为什么能加出一个有限的数？

想一想

🍰一块永远吃不完的饼干

把正方形想成一块饼干。第一天吃 $1/2$ ，第二天吃剩下的 $1/2$ （也就是 $1/4$ ）……每次吃掉的都是“剩下的一半”。

你永远会剩一点点，但吃掉的总量是 $1/2+1/4+1/8+\dots=1$ ——正好一整块。

📐剩余面积每次减半

剪了 N 刀之后，剩下的矩形面积是 $1/2^N$ 。剪下来的总面积 = 整块 − 剩下：

N 越大， $1/2^N$ 越接近 0，所以 $S_N$ 越来越接近 1。这就是“极限”。

🐢芝诺的乌龟

阿基里斯追乌龟：先跑一半，再跑剩下的一半……古希腊人以为永远追不上。其实这些距离加起来是一个有限的数。

2019 年有两个美国高中生用等比数列证明了“ $1/4 + 1/16 + 1/64 + \dots = 1/3$ ”，还发表了一篇小论文。

🎯小挑战

① $1/2+1/4+1/8+\dots$ 等于多少？

② $1+1/2+1/4+1/8+\dots$ 等于多少？

③ 如果每次剪掉“剩下的 2/3”，最后剪下来的总面积是多少？

看答案

① 正好 1；② 比①多一个首项 1，所以是 2；③ 每次剩下 1/3，剪掉的总面积 = 1 − 0 = 1（公式： $(2/3)/(1-1/3)=1$ ）。

🧭从 1/2 到任意公比 x

正方形模型只展示了 $x=1/2$ 这一种“公比”。如果把每一刀改成剪掉剩下部分的 $1-x$ ，剩下的比例就是 x，于是得到更一般的公式：

当 $|x|<1$ 时，让 N 越来越大，就得到 $1/(1-x)$ 。去第②站“错位相减”，亲手把这个公式推出来。

S =

xS =

把第二行整体向右错一格，再上下相减——中间的全消掉了。

“错位”到底错在哪？

想一想

🧮为什么可以这样减？

方程两边同时乘以同一个数，等式仍然成立；两个等式左右分别相减，也仍然相等。这就是“错位相减”合法的原因。

它的本质是：把一个“很多项”的问题，变成一个“只有两项”的问题。

🪜从有限到无限

公式 $S_N=(1-x^{N+1})/(1-x)$ 对任何 $x\neq1$ 都对。让 N 越来越大，如果 $|x|<1$ ，那么 $x^{N+1}$ 会越来越接近 0。

于是 $S_N$ 越来越接近 $1/(1-x)$ 。这一步叫“取极限”。

⚠️小心这个坑

相减时最容易漏掉最后一项 $-x^{N+1}$ ，或者把项数数错。

建议：先确定指数从 0 到 N 共 N+1 项，再检查乘 x 后指数从 1 到 N+1 也是 N+1 项，一一对齐。

🎯小挑战

① 用错位相减求 $1+2+4+\cdots+2^{10}$ 。

② 求 $1+1/3+1/9+\cdots$ （无限项）。

③ 如果 $S=1-x+x^2-x^3+\cdots$ ，且 $|x|<1$ ，S 等于多少？

看答案

① 这是 x=2 的等比数列，用公式 $(1-2^{11})/(1-2)$ =2047；② 1/(1−1/3)=3/2；③ 公比是 −x，所以 S=1/(1+x)。

少多（对数刻度）

第 8 格：128 粒。听起来还好？继续往后翻。

翻倍的力量

想一想

🌾国王的麦粒

传说国王要奖赏发明国际象棋的人，对方只要“第一格 1 粒，第二格 2 粒，第三格 4 粒……每格翻倍”。国王觉得便宜，结果第 64 格的麦粒堆起来比山还高。

第 64 格是 $2^{63}≈9.22×10^{18}$ 粒，前 64 格合计 $2^{64}-1$ 粒，重量约 4610 亿吨，是全世界一年小麦产量的好几百倍。

📈为什么直觉会骗人？

人的直觉擅长“线性”：1、2、3、4……但翻倍是“指数”。前 10 格加起来只有 1023 粒，前 20 格加起来就超过 100 万，前 30 格加起来超过 10 亿。

所以 x=2 的等比数列没有有限的和——这正是 1/(1−x) 在 x≥1 时失效的原因。

💡和“越变越小”对照看

同一个公式 $1+x+x^2+\dots$ ：

· $|x|<1$ ：越加越小，和有限，等于 $1/(1-x)$ ；

· $x\geq1$ ：越加越大，和无限。一个小小的绝对值，决定了“收敛还是爆炸”。

🎯小挑战

① 第 10 格放多少粒？前 10 格一共多少？

② 如果每粒麦子 0.05 克，前 20 格有多重？

看答案

① 第 10 格 2⁹=512 粒，前 10 格 = 2¹⁰−1 = 1023 粒；② 2²⁰−1≈104.9 万粒，约 52.4 千克。