📈 游乐场 4.3

eˣ 的切线

eˣ 有一个独一无二的性质：曲线上每一点的切线斜率，都正好等于它的高度。

eˣ导数增长半衰期

拖动切点，比较切线的斜率和点的高度。

为什么偏偏是 e？

想一想

在 $x=0$ 处，高度 1，斜率 1；在 $x=1$ 处，高度 $e$ ，斜率也是 $e$ 。

整条曲线都在“按自己的高度增长”。

$(e^{kx})'=ke^{kx}$ 。内层 $kx$ 的导数是 $k$ ，乘到前面。

所以 $e^{2x}$ 增长得更快， $e^{-x}$ 则衰减。

只要“变化率 = 常数 × 当前量”，解就是 $N=N_0e^{kt}$ 。

细菌、人口、复利、放射性、冷却，都是这个模型。

① 求 $(e^{4x})'$ 。

② 求 $(e^{-2x})'$ 。

③ 半衰期 10 年， $k$ 是多少？

看答案

① $4e^{4x}$ ；② $-2e^{-2x}$ ；③ $k=\frac{\ln2}{10}$ 。

k > 0 时增长；k < 0 时衰减。衰减时还能看到半衰期。

想一想

令 $N_0e^{-kT}=\frac12N_0$ ，得到 $e^{-kT}=\frac12$ 。

两边取对数： $-kT=\ln\frac12=-\ln2$ ，所以 $T=\frac{\ln2}{k}$ 。

牛顿冷却定律：温差的变化率和温差成正比。于是温差按 $e^{-kt}$ 缩小。

咖啡越接近室温，冷得越慢。

碳-14 的半衰期约 5730 年。生物死后不再补充碳-14，残留量按指数衰减。

测出残留比例，就能估算年代。

① 半衰期 20 年， $k$ 是多少？

② $N_0=200$ ， $k=0.3$ ， $t=2$ 时 N 约为多少？

看答案

① $k=\frac{\ln2}{20}$ ；② $200e^{0.6}\approx364$ 。